Как учить поиску решения задач

How to teach how to find a solution

Автор: Фаляхова Альбина Задитовна

МБОУ «Лицей № 35», г. Нижнекамск, республика Татарстан, Россиия.

e-mail: agilyazova82@mail.ru

Falyakhova Albina Zaditovna

Litsey №35, Nizhnekamsk, republic of Tatarstan, Russia.

e-mail: agilyazova82@mail.ru 

Аннотация: в этой статье автор рассказывает о том, как научить поиску решения задач учащихся на уроках математики. Рассмотрены важнейшие элементы поиска такие как анализ, синтез, прогноз. Приводятся примеры.

Abstract: In this article, the author discusses how to teach students how to find solutions in math lessons. The most important elements of the search are considered such as analysis, synthesis, forecasting. Examples are given.

Ключевые слова: математика, поиск решения задач, анализ, синтез, прогнозирование.

Keywords: mathematics, problem-solving, analysis, synthesis, prediction.

Тематическая рубрика: средняя школа.

Современное общество ставит человека перед необходимостью находить и принимать решения в различных жизненных и производственных ситуациях. Производство почти ежедневно требует от начальника цеха, инженера, рабочего безотлагательно найти правильное решение. Нахождение решений важно и в семейной жизни, и в быту. От того будет ли выпускник школы знать методы поиска решений и обладать навыками их нахождения, зависит его психологическая подготовленность к общественной жизни.

Методы нахождения решения и психическая деятельность, связанная с поиском решения, во многом сходны как в жизненных или производственных задачах, так и в школьных. Поэтому ознакомление учащихся с методами поиска решений является средством не только улучшения учебных навыков, но и воспитания учащихся, подготовки их к будущей производственной деятельности, к жизни.

Важнейшими элементами любого метода поиска решения являются анализ и синтез. При решении математических задач синтез может использоваться в двух формах рассуждения: «а» - когда двигаются от данных к искомым фактам и «б» - когда элементы объединяют в одно целое. Точно так же и анализ может выступать в двух формах: «а» - когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи, «б» - когда целое (фигуру, выражение и т.п.) расчленяют на части.

Синтез, проведенный в форме постепенного «восхождения» от данных к искомому, позволяет изложить уже найденное решение четко и логично: из данных делается один вывод, затем другой, из них логически следует третий и т.д., а в конце цепочки выводов получается то, что требовалось вычислить, узнать или доказать. Это позволяет убедить слушающего в правильности, логической безупречности решения. Однако ученику, который слушает решение, не всегда понятно, как он сам мог бы до этого догадаться. При синтетическом изложении «за кадром» остается вопрос о том, почему был выбран именно этот путь рассуждения и как (при самостоятельном поиске) избежать ложных шажков мысли. Можно сказать, что изложение решения следует законам математической логики, а не «математической психологии», позволяющей научить делать пусть маленькие, но открытия.

Анализ же в первую очередь направлен на поиск пути решения. После завершения анализа нередко требуется заново провести синтетическое рассуждение, чтобы оформить и изложить найденное решение. Но зато анализ позволяет показать ученику, как можно самому догадаться решить задачу. Он в большой мере способствует развитию мышления и творческих способностей.

Пример 1. При доказательстве тождества.

cos200 * cos400 * cos800=1/8

применяется синтез в форме «а», т.е. в форме постепенного перехода от данных (от стоящего в левой части выражения) к искомому доказательству. С этой целью учитель умножает и делит выражение в левой части на sin200, т.е переписывает его в виде:

sin200 * cos200 * cos400 * cos800/sin200

Ученики догадываются, что теперь нужно применить формулу синуса двойного аргумента, и последовательно переписывают выражение в виде:

sin400 * cos400 * cos800/2sin200 = sin800 * cos800/4sin200 = sin1600/8sin200.

Заметив, наконец, что:

sin 1600 = sin(1800 – 200)=sin 200, 

они убеждаются в справедливости исходного равенства. Схема этого синтетического рассуждения показана на рис.1; волнистая линия со знаком «?» указывает цель («требуется доказать»), а жирная стрелка, замыкающая цикл («ага, эврика!»), символизирует озарение.

Приведенное выше рассуждение воспринимается учащимися сначала с недоумением (как догадаться, что нужно умножить и разделить на sin200?), а по его завершении – с восторгом. Формула 2sinα cosα = sin2α, которая, казалось бы, совершенно никакого отношения к постановке задачи не имеет, неожиданно приводит к простому и красивому доказательству.

В заключении остановлюсь еще на одном моменте, который играет важную роль в процессе поиска решения. Во время раздумья над возможными путями решения задачи учащемуся пришел в голову некоторый «шажок мысли». Правильным ли он является? Приближает к нахождению решения, или же это ложный путь, уводящий в сторону от правильного направления? Критерием в этом вопросе является прогнозирование, т.е. предвидение результата, получаемого в процессе анализа, синтеза, обобщения. Формирование умения прогнозировать, предвидеть результаты, к которым приведет каждый отдельный шажок мысли, является важным компонентом развития мышления. С этой целью на уроках математики при обсуждении идеи решения, когда кто-либо из учащихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, тождественным преобразованием, целесообразно добиваться того, чтобы он обосновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указывал, к чему оно приведет.  

Пример 2. Доказать тождество.

1+2cos7x=sin10,5x/sin3,5x

Обсудим учебную ситуацию, возникшую в классе при решении этой задачи. Один из учащихся предложил заменить 3,5х через α; тогда 7х=2 α, 10,5х=3 α. Кроме того, он предложил освободиться от знаменателя, чтобы уравнение приняло вид …=sin3 α, где слева стоит какое-то выражение от α и  2 α. После этого второй ученик посчитал целесообразным разложить правую часть по формуле sin(2 α+ α) и объяснил, что при этом уменьшится число аргументов: не будет 3 α, а следовательно и справа останутся α и 2 α. Учащиеся считали, что оба шага, выполненные один за другим, могут приблизить к решению, хотя еще не все детали предстоящих преобразований им были достаточно ясны.

Вызванный к доске учащийся реализовал путь, указанный в процессе прогнозирования:

(1+2cos2 α)sin α=sin3 α,

(1+2cos2 α)sin α=sin2 αcos α+cos2 αsin α.

Дальнейшие шаги были ясны учащимся, поэтому решение легко было доведено до конца, а при преобразованиях выяснялась целесообразность использования формулы sin2 α=1-cos2 α.

Следует отметить, что прогнозирование связано с приобретением опыта решения задач, интуицией, умением творчески мыслить. Могут встретиться такие случаи, когда осуществить прогнозирование с целью выбрать из нескольких возможных логических шажков какой-либо один (более предпочтительный) не удается. В таких случаях не остается ничего лучшего, как произвести перебор этих возможных логических шажков, т.е. искать решение, испробовав один шажок, а если это не приводит к цели, испробовать второй, третий шажок... И все же перебор – лишь крайний случай. Основой выбора пути решения (с использованием анализа, синтеза, обобщения, аналогии, интуиции) является именно прогнозирование, а не перебор.

При индивидуальном решении задач учащийся молча, «про себя» осуществляет прогноз и воплощает его в решении, а иногда даже как бы не замечает скрытую работу мысли на этапе прогноза. Обсуждение процесса поиска решения и, в частности, прогнозирования решения при активном участии всего класса – мощное средство развития навыков логического мышления учащихся.

Время, затрачиваемое на такую работу, не является «потерянным зря», а приводит к повышению уровня знаний по математике. Более того, достаточно подробный и обоснованный прогноз решения может в ряде случаев заменить само решение, т.е. на одну подробно решенную задачу можно 1 – 2 задачи обсуждать лишь на уровне подробного прогноза. Это дает экономию учебного времени при углублении знаний учащихся.